特征函数

定义

感性认知

根据泰勒级数我们可以得知,两个函数f(x),g(x),如果它们各阶导数相等的越多,它们就越相似,换言之 (1)各阶导数都相同f(x)=g(x) 可以说,函数的各阶导数即是它们的特征。

对于随机变量来说,这样的“特征”也存在。随机变量的特征即是它的各阶矩,即 (2)各阶矩都相同随机变量对应的分布相同 对于随机变量X,其特征函数定义为 (3)φ(t)=E[eitX] eitX的泰勒级数为 (4)eitX=1+itX1!t2X22!++(itX)nn! 代入特征函数可得 (5)φ(t)=E[1+itX1!t2X22!++(itX)nn!]=E[1]+E[itX1!]E[t2X22!]++E[(itX)nn!]=1+itE[X]一阶矩1!t2E[X2]二阶矩2!++(it)nE[n! 可见特征函数包含了随机变量的所有矩,亦即随机变量的所有“特征”,所以可以说特征函数是随机变量的另一种描述方式。

理性认知

(6)φ(t)=E[eitX]=+eitxp(x)dx

而对p(x)进行逆傅里叶变换可得 (7)F(t)=+p(x)eitxdx 可见二者互为共轭关系: (8)φ(t)=F(t)

应用

通过求t=0时的各阶导数,可以快速求得各阶矩: (9)φ(k)(0)=ikE[Xk]

参考

特征函数的理解

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