特征函数

定义

感性认知

根据泰勒级数我们可以得知，两个函数$f(x),g(x)$，如果它们各阶导数相等的越多，它们就越相似，换言之 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \text{各阶导数都相同}\Rightarrow f(x)=g(x)\end{array}$$ 可以说，函数的各阶导数即是它们的特征。

对于随机变量来说，这样的“特征”也存在。随机变量的特征即是它的各阶矩，即 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \text{各阶矩都相同}\Rightarrow \text{随机变量对应的分布相同}\end{array}$$ 对于随机变量$X$，其特征函数定义为 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (t)=\mathrm{E}[e^{itX}]\end{array}$$ $e^{itX}$的泰勒级数为 $$\begin{array}{}\text{(4)}& e^{itX}=1+\frac{itX}{1!}-\frac{t^2{X}^2}{2!}+\cdots +\frac{(itX{)}^n}{n!}\end{array}$$ 代入特征函数可得 $$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}\phi (t)& =\mathrm{E}[1+\frac{itX}{1!}-\frac{t^2{X}^2}{2!}+\cdots +\frac{(itX{)}^n}{n!}]\\ & =\mathrm{E}[1]+\mathrm{E}[\frac{itX}{1!}]-\mathrm{E}[\frac{t^2{X}^2}{2!}]+\cdots +\mathrm{E}[\frac{(itX{)}^n}{n!}]\\ & =1+\frac{it\stackrel{\text{一阶矩}}{\overbrace{\mathrm{E}[X]}}}{1!}-\frac{t^2\stackrel{\text{二阶矩}}{\overbrace{\mathrm{E}[X^2]}}}{2!}+\cdots +\frac{(it{)}^n\overbrace{\mathrm{E}[\mathrm{矩}}}{n!}\end{array}\end{array}$$ 可见特征函数包含了随机变量的所有矩，亦即随机变量的所有“特征”，所以可以说特征函数是随机变量的另一种描述方式。

理性认知

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \phi (t)=\mathrm{E}[e^{itX}]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{itx}p(x)dx\end{array}$$

而对$p(x)$进行逆傅里叶变换可得 $$\begin{array}{}\text{(7)}& F(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}p(x)e^{-itx}dx\end{array}$$ 可见二者互为共轭关系： $$\begin{array}{}\text{(8)}& \phi (t)=\overline{F(t)}\end{array}$$

应用

通过求$t=0$时的各阶导数，可以快速求得各阶矩： $$\begin{array}{}\text{(9)}& {\phi }^{(k)}(0)=i^k\mathrm{E}[X^k]\end{array}$$

参考

特征函数的理解