特征函数
定义
感性认知
根据泰勒级数我们可以得知，两个函数\(f(x),g(x)\)，如果它们各阶导数相等的越多，它们就越相似，换言之 \[ \text{各阶导数都相同} \Rightarrow f(x) = g(x) \] 可以说，函数的各阶导数即是它们的特征。
对于随机变量来说，这样的“特征”也存在。随机变量的特征即是它的各阶矩，即 \[ \text{各阶矩都相同} \Rightarrow \text{随机变量对应的分布相同} \] 对于随机变量\(X\)，其特征函数定义为 \[ \varphi(t) = \E[e^{itX}] \] \(e^{itX}\)的泰勒级数为 \[ e^{itX} = 1 + \frac{itX}{1!} - \frac{t^2X^2}{2!} + \dots + \frac{(itX)^n}{n!} \] 代入特征函数可得 \[ \begin{aligned} \varphi(t) &= \E[1 + \frac{itX}{1!} - \frac{t^2X^2}{2!} + \dots + \frac{(itX)^n}{n!}] \\ &= \E[1] + \E[\frac{itX}{1!}] - \E[\frac{t^2X^2}{2!}] + \dots + \E[\frac{(itX)^n}{n!}] \\ &= 1 + \frac{it \overbrace{\E[X]}^\text{一阶矩} }{1!} - \frac{t^2 \overbrace{\E[X^2]}^\text{二阶矩} }{2!} + \dots + \frac{(it)^n \overbrace{\E[矩} }{n!} \\ \end{aligned} \] 可见特征函数包含了随机变量的所有矩，亦即随机变量的所有“特征”，所以可以说特征函数是随机变量的另一种描述方式。
理性认知
\[ \varphi(t) = \E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} p(x)\; dx \]
而对\(p(x)\)进行逆傅里叶变换可得 \[ F(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) e^{-itx} dx \] 可见二者互为共轭关系： \[ \varphi(t) = \overline{F(t)} \]
应用
通过求\(t = 0\)时的各阶导数，可以快速求得各阶矩： \[ \varphi^{(k)}(0) = i^k \E[X^k] \]